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Cómo calcular matrices paso a paso

Antes de operar, cuenta las filas y columnas. Cada operación tiene una condición distinta; los ejemplos de esta guía muestran cómo comprobar el tamaño, los signos y el resultado.

Actualizada el . Utilavia mantiene esta guía. Cómo comprobamos el contenido.

Empieza por las filas y columnas

Una matriz de tamaño m × n tiene m filas y n columnas. La posición (i, j) identifica la fila primero y la columna después. Por ejemplo, en A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], la entrada (2, 3) es 6 y el tamaño de A es 2 × 3.

Introduce los números por filas en la calculadora de matrices. Para este ejemplo, elige dos filas y tres columnas en A. Si un ejercicio deja una posición a cero, escribe 0: la calculadora no interpreta las casillas vacías como ceros.

Suma, resta y transpuesta

Para sumar o restar, empareja entradas que tengan la misma posición; ambos tamaños deben coincidir. Con A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]], obtienes A + B = [[6, 8], [10, 12]] y A − B = [[−4, −4], [−4, −4]].

La transpuesta intercambia filas y columnas. La matriz rectangular [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] se convierte en [[1, 4], [2, 5], [3, 6]], de tamaño 3 × 2. Transponer no significa invertir: una matriz rectangular puede tener transpuesta, aunque no tenga inversa en el sentido de esta herramienta.

Producto de matrices: fila por columna

En A × B, cada entrada suma los productos de una fila de A y una columna de B. Necesitas tantas columnas en A como filas en B. El orden importa: intercambiar A y B puede cambiar el resultado o hacer que el producto deje de estar definido.

Prueba estas dos matrices:

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]] · B = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]

  1. Entrada (1, 1): 1 × 7 + 2 × 9 + 3 × 11 = 58.
  2. Entrada (1, 2): 1 × 8 + 2 × 10 + 3 × 12 = 64.
  3. Entrada (2, 1): 4 × 7 + 5 × 9 + 6 × 11 = 139.
  4. Entrada (2, 2): 4 × 8 + 5 × 10 + 6 × 12 = 154.

El resultado es [[58, 64], [139, 154]], de tamaño 2 × 2. Este ejemplo ayuda a detectar dos errores comunes: multiplicar solo entradas de la misma posición o suponer que el resultado conserva el tamaño rectangular de A.

Determinante 2 × 2 y ejemplo 3 × 3

En una matriz [[a, b], [c, d]], calcula det(A) = ad − bc. El determinante solo se define aquí para matrices cuadradas. Si vale cero, la matriz no es invertible.

Para A = [[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]], puedes desarrollar por la primera fila:

det(A) = 1 × (0 − 24) − 2 × (0 − 20) + 3 × (0 − 5) = 1

La calculadora utiliza eliminación por filas. En este mismo ejemplo:

  1. F3 ← F3 − 5 × F1, con lo que F3 pasa a [0, −4, −15].
  2. F3 ← F3 + 4 × F2, con lo que F3 pasa a [0, 0, 1].
  3. La matriz queda triangular y su diagonal es [1, 1, 1]: el determinante es 1 × 1 × 1 = 1.

Sumar un múltiplo de otra fila no cambia el determinante. Intercambiar dos filas cambia su signo; por eso los pasos indican cada intercambio antes de presentar el producto de la diagonal. Por ejemplo, [[0, 1], [1, 0]] necesita un intercambio y tiene determinante −1.

Inversa 2 × 2 mediante Gauss-Jordan

La inversa cumple A × A⁻¹ = I, donde I es la identidad. Para encontrarla, escribe A junto a I y aplica las mismas operaciones por filas a los dos bloques: [A | I]. Cuando el bloque izquierdo se convierte en I, el derecho es la inversa.

Con A = [[4, 7], [2, 6]], parte de [4, 7 | 1, 0] y [2, 6 | 0, 1]:

  1. Divide F1 entre 4: [1, 7/4 | 1/4, 0].
  2. Resta 2 × F1 a F2: [0, 5/2 | −1/2, 1].
  3. Divide F2 entre 5/2: [0, 1 | −1/5, 2/5].
  4. Resta 7/4 × F2 a F1: [1, 0 | 3/5, −7/10].

Por tanto, A⁻¹ = [[3/5, −7/10], [−1/5, 2/5]]. Comprueba una entrada del producto: 2 × (−7/10) + 6 × 2/5 = −7/5 + 12/5 = 1.

Si usas [[1, 2], [2, 4]], la segunda fila es el doble de la primera. Al eliminar queda una fila nula: su determinante es 1 × 4 − 2 × 2 = 0 y no existe inversa. Un aviso de matriz singular no significa que haya que redondear o dividir entre un número pequeño: en este caso el cero es exacto.

Qué precisión ofrece la herramienta

Se admiten matrices numéricas de 2 a 5 filas y columnas, enteros y coma decimal con hasta seis cifras, dentro de ±1 000 000. No se aceptan fracciones como entrada, letras, fórmulas ni exponentes. Cada casilla tiene un límite de 32 caracteres.

Los resultados se conservan como fracciones exactas; los decimales se redondean a seis cifras con empates alejándose de cero. ≈ señala un redondeo, incluso si una fracción no nula queda como ≈ 0. Copiar y descargar incluyen la fracción y la vista decimal. Los enteros racionales internos se limitan a 512 bits y los productos temporales a 1024 bits; si se supera la capacidad se informa de ello sin mostrar un cálculo parcial. Se muestran como máximo 100 pasos, con aviso si fuese necesario abreviarlos.

El cálculo es local y no guarda las matrices en un historial. Revisa la política de privacidad y vuelve a la calculadora para comprobar otro ejercicio. El alcance es didáctico y numérico; no incluye valores propios, cálculo simbólico ni certificación de modelos de ingeniería.

Fuentes matemáticas

Consultadas el 5 de noviembre de 2026. Los ejemplos están desarrollados para esta guía; estas referencias no implican revisión humana de la herramienta.