Cómo hacer una regla de tres directa e inversa

Una regla de tres sirve para encontrar un valor desconocido cuando dos magnitudes son proporcionales y ya conoces tres datos: dos valores que se corresponden y un tercero. Una magnitud es lo que se mide o se cuenta, como el peso, el precio, el tiempo o el número de personas. El Diccionario de la lengua española describe la regla de tres, en esencia, como un método para determinar una cantidad desconocida por medio de una proporción.

Para plantearla, escribe los datos en dos columnas, una por magnitud. En la primera fila va la pareja de valores que conoces y, en la segunda, el nuevo valor y la incógnita, x. Por ejemplo, si 3 kg de manzanas cuestan 4,50 €, ¿cuánto cuestan 7 kg?

Es la misma disposición que usa la calculadora: A y B son la pareja conocida, C es el nuevo valor y x es el valor que buscas. Hay dos tipos de regla de tres simple, la directa y la inversa, según cómo se relacionen las dos magnitudes. Cuando intervienen más de dos magnitudes, se habla de regla de tres compuesta.

Regla de tres simple directa

La regla de tres es directa cuando, al aumentar una magnitud, la otra aumenta en la misma proporción: el doble de kilos cuesta el doble, y la mitad, la mitad. Lo que se mantiene es el cociente entre los valores que se corresponden: A ÷ B = C ÷ x. Si despejas x:

x = B × C ÷ A

En el ejemplo de las manzanas:

x = 4,50 × 7 ÷ 3 = 10,50 €.

Dicho de otro modo, multiplicas los dos valores de la diagonal sin la x, 4,50 y 7, y divides entre el que queda, 3. Por eso a este paso se le suele llamar multiplicar en cruz. La proporción se lee «3 es a 4,50 como 7 es a x».

Otra forma de resolverla es la reducción a la unidad: calcula primero cuánto corresponde a 1 y después multiplica. Un kilo cuesta 4,50 ÷ 3 = 1,50 €, así que 7 kg cuestan 1,50 × 7 = 10,50 €.

Usa la calculadora de regla de tres para resolver tu propio caso. Para este ejemplo, escribe 3 en A, 4,5 en B y 7 en C: el resultado es 10,5, porque la calculadora no muestra la unidad ni el cero final.

Dos ejemplos más:

• Una receta para 4 personas lleva 300 g de harina. Para 6 personas: x = 300 × 6 ÷ 4 = 450 g.
• En un mapa, 2 cm representan 5 km. ¿Cuántos kilómetros son 7,5 cm? x = 5 × 7,5 ÷ 2 = 18,75 km.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres es inversa cuando, al aumentar una magnitud, la otra disminuye en la misma proporción: si una se multiplica por 2, la otra se divide entre 2. Lo que se mantiene es el producto: A × B = C × x. Si despejas x:

x = A × B ÷ C

Por ejemplo, 4 personas tardan 6 días en terminar un trabajo. ¿Cuánto tardan 3 personas, si todas trabajan al mismo ritmo? Con menos personas se tarda más, así que es inversa:

x = 4 × 6 ÷ 3 = 8 días.

Por reducción a la unidad: una sola persona tardaría 4 × 6 = 24 días, y 3 personas, 24 ÷ 3 = 8 días.

Si se resolviera por error como directa, saldría 6 × 3 ÷ 4 = 4,5 días: con menos personas se terminaría antes, lo que no tiene sentido.

Otro ejemplo: a 60 km/h, un trayecto dura 2 horas. A 80 km/h, x = 60 × 2 ÷ 80 = 1,5 horas, es decir, 1 hora y 30 minutos. Ten cuidado al pasar a minutos: 0,5 horas son 30 minutos, no 50.

Cómo saber si es directa o inversa

Hazte una pregunta: si una magnitud se duplica, ¿qué le pasa a la otra?

• Si también se duplica, es directa: el doble de kilos cuesta el doble.
• Si se reduce a la mitad, es inversa: el doble de personas tarda la mitad.
• Si no ocurre ninguna de las dos cosas, las magnitudes no son proporcionales y la regla de tres no sirve.

La idea de «a más, más» para la directa y «a más, menos» para la inversa ayuda, pero no basta: dos magnitudes pueden crecer a la vez sin ser proporcionales. Imagina un taxi que cobra 3 € por la bajada de bandera y 1 € por kilómetro. Un trayecto de 10 km cuesta 3 + 10 = 13 €. Con una regla de tres, 20 km costarían 13 × 20 ÷ 10 = 26 €, pero el precio real es 3 + 20 = 23 €. La parte fija no se duplica, así que el precio no es proporcional a la distancia.

Tampoco son proporcionales la edad y la altura de una persona, aunque las dos aumenten durante años. La calculadora no puede saber si tus datos son proporcionales ni de qué tipo es la relación: eso lo decides tú al elegir directa o inversa.

Paso a paso

1. Escribe una columna para cada magnitud. Pon en la primera fila la pareja de valores que conoces y, en la segunda, el nuevo valor y la x.
2. Usa una sola unidad en cada columna. Si un dato está en minutos y otro en horas, convierte antes de calcular.
3. Decide si es directa o inversa con la prueba del doble.
4. Aplica la fórmula: x = B × C ÷ A si es directa, o x = A × B ÷ C si es inversa.
5. Comprueba que el resultado tiene sentido. Con cantidades positivas, si C es mayor que A, en la directa x debe ser mayor que B, y en la inversa, menor.

Un ejemplo del paso 2: un grifo vierte 40 litros en 10 minutos. ¿Cuántos litros vierte en 1,5 horas? Pasa 1,5 horas a 90 minutos y calcula x = 40 × 90 ÷ 10 = 360 litros. Si escribieras 1,5 sin convertir, obtendrías 6 litros.

Regla de tres con porcentajes

Un porcentaje es una proporción en la que el total vale 100. Por eso, los tres cálculos básicos con porcentajes se pueden plantear como una regla de tres directa con el 100 % en una de las columnas:

• ¿Qué porcentaje es 30 de 200? 200 → 100 %; 30 → x. x = 100 × 30 ÷ 200 = 15 %.
• ¿Cuánto es el 15 % de 200? 100 % → 200; 15 % → x. x = 200 × 15 ÷ 100 = 30.
• Después de un descuento del 15 %, has pagado 170 €. ¿Cuál era el precio original? Lo que has pagado es el 100 − 15 = 85 % del precio: 85 % → 170 €; 100 % → x. x = 170 × 100 ÷ 85 = 200 €. Un error frecuente es plantear 15 % → 170 €, pero el 15 % es el descuento, no lo que has pagado.

En la calculadora de regla de tres, escribe los números sin el símbolo %. Para estos casos es más rápido usar la calculadora de porcentajes, que obtiene directamente la parte, el porcentaje o el total.

Regla de tres compuesta

Una regla de tres es compuesta cuando intervienen tres magnitudes o más. La incógnita depende de varias magnitudes a la vez, y cada una puede ser directa o inversamente proporcional a ella. Para saberlo, compara cada magnitud con la de la incógnita por separado, como si las demás no cambiaran.

La forma más segura de resolverla es por pasos: una regla de tres simple para cada magnitud, cambiando un dato cada vez. La calculadora no tiene un modo para la regla de tres compuesta, pero sirve para cada paso.

Dos relaciones directas. 5 máquinas fabrican 400 piezas en 8 horas. ¿Cuántas piezas fabrican 3 máquinas en 10 horas?

1. Máquinas, con las 8 horas fijas. Es directa, porque menos máquinas fabrican menos piezas: 5 → 400; 3 → x. x = 400 × 3 ÷ 5 = 240 piezas.
2. Horas, ya con 3 máquinas. Es directa, porque más horas dan más piezas: 8 → 240; 10 → x. x = 240 × 10 ÷ 8 = 300 piezas.

También se puede hacer en una sola operación, aplicando los dos cambios seguidos: 400 × 3 ÷ 5 × 10 ÷ 8 = 300.

Dos relaciones inversas. 6 personas que trabajan 8 horas al día tardan 10 días en hacer una obra. ¿Cuántos días tardan 4 personas que trabajen 6 horas al día?

1. Personas, con las 8 horas diarias fijas. Es inversa, porque menos personas tardan más: 6 → 10; 4 → x. x = 6 × 10 ÷ 4 = 15 días.
2. Horas al día, ya con 4 personas. Es inversa, porque menos horas diarias alargan la obra: 8 → 15; 6 → x. x = 8 × 15 ÷ 6 = 20 días.

Para comprobarlo, resuelve cada paso por separado con la calculadora en la opción inversa y usa el resultado exacto de un paso como dato del siguiente: primero A = 6, B = 10 y C = 4, y después A = 8, B = 15 y C = 6. También cuadra con las horas totales: la obra necesita 6 × 8 × 10 = 480 horas de trabajo, y 4 personas a 6 horas diarias hacen 24 horas al día, así que 480 ÷ 24 = 20 días.

Conserva los valores exactos entre pasos. 3 personas que trabajan 7 horas al día tardan 10 días. ¿Cuánto tardan 7 personas que trabajen 3 horas al día? Las dos relaciones son inversas.

1. Personas: 3 → 10; 7 → x. x = 3 × 10 ÷ 7 = 30 ÷ 7 ≈ 4,285714 días.
2. Horas al día: 7 → 30 ÷ 7; 3 → x. x = 7 × (30 ÷ 7) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10 días exactos.

Si en el segundo paso escribes el valor redondeado del primero, 4,285714, la calculadora da aproximadamente 9,999999 en lugar de 10. Para evitarlo, haz la cuenta completa en una sola operación, 10 × 3 ÷ 7 × 7 ÷ 3 = 10, o conserva la división 30 ÷ 7 sin redondear hasta el final.

Ejemplos resueltos

Consumo de combustible. Un coche gasta 6 litros cada 100 km. ¿Cuánto gasta en 250 km? Es directa: x = 6 × 250 ÷ 100 = 15 litros, si el consumo se mantiene igual.

Un precio con decimales periódicos. 3 cuadernos cuestan 10 €. ¿Cuánto cuestan 7? Es directa: x = 10 × 7 ÷ 3 = 70 ÷ 3 = 23,333… €. La calculadora muestra aproximadamente 23,333333. Para expresarlo en euros, redondea a céntimos: unos 23,33 €. La calculadora no redondea a céntimos por ti.

Un tiempo con decimales. 6 grifos iguales llenan un depósito en 5 horas. ¿Cuánto tardan 7 grifos? Es inversa: x = 6 × 5 ÷ 7 = 30 ÷ 7 ≈ 4,285714 horas. Para pasar la parte decimal a minutos, multiplícala por 60: 0,285714 × 60 ≈ 17 minutos. Son unas 4 horas y 17 minutos.

Un resultado que hay que interpretar. 5 personas terminan un trabajo en 12 horas. ¿Cuántas personas hacen falta para terminarlo en 8 horas? La incógnita es el número de personas, así que las horas van en la primera columna: 12 → 5; 8 → x. Es inversa, porque para tardar menos hacen falta más personas: x = 12 × 5 ÷ 8 = 7,5. Como no puede haber media persona, en la práctica hacen falta 8 personas para no pasar de 8 horas.

Errores frecuentes

Usar la directa cuando es inversa. Si 4 personas tardan 6 días, 3 personas no tardan 4,5 días, sino 8. Haz la prueba del doble antes de calcular.

Mezclar unidades. Minutos con horas o gramos con kilos dan un resultado erróneo. Convierte antes para que cada columna tenga una sola unidad.

Aplicarla a datos que no son proporcionales. Si hay una parte fija, como la bajada de bandera del taxi, la regla de tres da un resultado incorrecto.

Colocar mal los datos. Los dos valores que se corresponden van en la misma fila, y el nuevo valor, debajo del valor conocido de su misma magnitud.

Redondear en los pasos intermedios. En una regla de tres compuesta, el redondeo de un paso se arrastra hasta el final: en el ejemplo de las 7 personas sale 9,999999 en vez de 10.

Dividir entre cero. En la directa, el valor conocido A no puede ser 0, y en la inversa, el nuevo valor C tampoco. En esos casos no hay un resultado único, y la calculadora no muestra ningún número.

Límites de la calculadora

• No trabaja con unidades ni redondea a céntimos. El resultado está en la unidad de B, y el redondeo práctico lo decides tú.
• No sabe si tus datos son proporcionales ni si la relación es directa o inversa.
• Resuelve una regla de tres simple cada vez. Las compuestas se resuelven por pasos.
• Admite valores negativos y aplica la regla de los signos, aunque los problemas habituales usan cantidades positivas.
• En la inversa, si A o B es 0, el resultado es 0. En una proporción inversa real ningún valor es 0, así que ese resultado suele indicar un error en los datos.
• Un resultado puede superar un billón (10¹²) en valor absoluto. En ese caso no se puede usar como dato en otro cálculo, porque supera el máximo admitido por campo.

Cómo introducir los números

Escribe los decimales con coma y sin separadores de miles: 1500,25, en lugar de 1.500,25. Cada campo admite hasta seis cifras decimales y valores de hasta 1000000000000 en valor absoluto. Para un número negativo, escribe el signo menos delante, por ejemplo -2. No escribas unidades ni el símbolo %.

El resultado se muestra con hasta seis decimales y, si se ha redondeado, aparece como aproximado, con el signo ≈ en la fórmula. Puede incluir separadores de miles. El valor copiado conserva el signo menos, pero no incluye separadores de miles. Para usarlo de nuevo como entrada, debe respetar los límites de la herramienta.

Preguntas frecuentes

¿Por qué se llama regla de tres?

Porque se resuelve con tres datos conocidos: los dos valores que se corresponden y el nuevo valor. Con ellos se obtiene el cuarto, el que falta.

¿Se puede usar la regla de tres para calcular porcentajes?

Sí. Un porcentaje es una proporción sobre 100, así que basta con poner el 100 % en una de las columnas. Por ejemplo, si 50 es el 100 %, 10 es x: x = 100 × 10 ÷ 50 = 20 %. Tienes más casos en la sección Regla de tres con porcentajes.

¿Qué pasa si uno de los valores es cero?

Depende de cuál. En la directa, el valor conocido A no puede ser 0, y en la inversa, el nuevo valor C tampoco: en esos casos no hay un resultado único. Si el 0 está en otro campo, el resultado es 0. En la inversa, ese 0 suele indicar un error en los datos, porque una proporción inversa real no contiene ningún 0.

Comprueba tus cálculos

Prueba tus propios datos con la calculadora de regla de tres o explora las calculadoras disponibles. Los ejemplos de esta guía son propios y puedes reproducirlos en la calculadora, con la opción directa o inversa que corresponda.

Si quieres practicar más, la hoja «Problemas de regla de tres», alojada en la web de la Universitat de València, reúne 14 problemas de regla de tres directa e inversa con sus soluciones. Es un recurso externo: no explica el método y no certifica esta herramienta.