Cómo resolver ecuaciones de segundo grado paso a paso

El discriminante Δ = b² − 4ac te dice cuántas soluciones reales tiene la ecuación antes de terminar la raíz cuadrada. Aquí tienes la fórmula, los casos especiales y ejemplos comprobables.

Forma general ax² + bx + c = 0 y por qué a no puede ser cero

Toda ecuación polinómica de segundo grado con una incógnita puede escribirse, tras agrupar y ordenar sus términos, en la forma canónica:

ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0)

Aquí a es el coeficiente cuadrático (acompaña a x²), b es el coeficiente lineal (acompaña a x) y c es el término independiente. Si en una igualdad aparece algo como 2x² = 5x − 3, primero debes pasar todos los términos al miembro izquierdo cambiando su signo (2x² − 5x + 3 = 0) para identificar sin errores a = 2, b = −5 y c = 3.

La condición a ≠ 0 es indispensable: si a vale cero, desaparece x² y queda bx + c = 0, que es una ecuación de primer grado cuya solución (cuando b ≠ 0) es simplemente x = −c ÷ b. Intentar aplicar la fórmula cuadrática con a = 0 obligaría a dividir entre 2 × 0 = 0, una operación indefinida. Puedes comprobar tus ejercicios al instante en la Calculadora de ecuaciones de segundo grado.

La fórmula general y el papel del discriminante

Para cualquier ecuación completa o incompleta con a ≠ 0, las soluciones se obtienen mediante la fórmula cuadrática:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

La expresión situada bajo el signo radical se llama discriminante y se representa con la letra griega delta mayúscula (Δ):

Δ = b² − 4ac

Calcular primero Δ evita errores de signos —sobre todo cuando b o c son negativos, ya que (−b)² siempre es positivo o cero y −4ac pasa a sumar cuando a y c tienen signos opuestos— y clasifica de inmediato las soluciones:

Δ mayor que 0: la raíz cuadrada √Δ es un número real positivo, de modo que sumar y restar √Δ produce dos raíces reales distintas (x₁ y x₂). Gráficamente, la parábola corta el eje horizontal en dos puntos.
Δ igual a 0: como √0 = 0, ambos signos dan el mismo valor x = −b ÷ (2a). Se habla de una raíz real doble y la parábola es tangente al eje horizontal en un único punto.
Δ menor que 0: en el conjunto de los números reales no existe la raíz cuadrada de un número negativo, por lo que no hay solución real (la parábola queda entera por encima o por debajo del eje horizontal). En el plano complejo, las soluciones forman un par conjugado: x = (−b ÷ (2a)) ± (√|Δ| ÷ |2a|)i.

Tres ejemplos resueltos paso a paso

Ejemplo 1: dos raíces reales (x² − 5x + 6 = 0)

Identificamos a = 1, b = −5 y c = 6. Calculamos el discriminante: Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Como Δ = 1 es positivo y √1 = 1, sustituimos en la fórmula:

x₁ = (5 + 1) ÷ 2 = 3 · x₂ = (5 − 1) ÷ 2 = 2

Comprobación rápida: 3² − 5(3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 y 2² − 5(2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0.

Ejemplo 2: raíz real doble (x² − 6x + 9 = 0)

Aquí a = 1, b = −6 y c = 9. El discriminante vale Δ = (−6)² − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0, porque el trinomio equivale al cuadrado perfecto (x − 3)² = 0:

x = 6 ÷ (2 × 1) = 3 (raíz doble)

Ejemplo 3: sin raíces reales, par complejo (x² + 2x + 5 = 0)

Con a = 1, b = 2 y c = 5, resulta Δ = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16. No tiene soluciones reales; usando √16 = 4 y la unidad imaginaria i (i² = −1):

x = (−2 ± 4i) ÷ 2 → x₁ = −1 + 2i · x₂ = −1 − 2i

Atajos para ecuaciones de segundo grado incompletas

Aunque la fórmula general funciona siempre que a ≠ 0, cuando b = 0 o c = 0 puedes resolver a mano en menos pasos y comprobar después con la calculadora:

Falta el término independiente (c = 0, tipo ax² + bx = 0): saca x como factor común para obtener x(ax + b) = 0. Una solución es siempre x₁ = 0 y la otra es x₂ = −b ÷ a. Por ejemplo, en 3x² − 12x = 0, x(3x − 12) = 0 entrega x₁ = 0 y x₂ = 4.
Falta el término lineal (b = 0, tipo ax² + c = 0): despeja x² = −c ÷ a. Si −c ÷ a es positivo, las dos soluciones reales son simétricas: x = ±√(−c ÷ a) (por ejemplo, x² − 9 = 0 da x = 3 y x = −3). Si −c ÷ a es negativo (como en x² + 9 = 0), no hay soluciones reales y las raíces complejas son ±3i.
Faltan ambos (b = 0 y c = 0, tipo ax² = 0): la única solución es la raíz doble x = 0.

Vértice de la parábola e interpretación geométrica

La función asociada y = ax² + bx + c dibuja una parábola vertical. Si a es positivo las ramas se abren hacia arriba y el vértice marca su valor mínimo; si a es negativo se abren hacia abajo y el vértice señala su valor máximo. Sus coordenadas exactas son:

xᵥ = −b ÷ (2a) · yᵥ = −Δ ÷ (4a)

Observa que xᵥ = −b ÷ (2a) cae justo en el punto medio entre las dos raíces reales: en x² − 5x + 6 = 0 (raíces 2 y 3), el vértice está en (2,5; −0,25); en x² − 6x + 9 = 0 coincide con (3; 0); y en x² + 2x + 5 = 0 se sitúa en (−1; 4), cuatro unidades por encima del eje horizontal, confirmando por qué nunca llega a valer cero en los números reales.

Si en tu ejercicio trabajas con pendientes de rectas o rampas en lugar de curvas cuadráticas, consulta la calculadora de pendiente; y si los coeficientes provienen de medidas físicas en distintas escalas, convierte antes tus datos con el conversor de unidades.

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Fuentes de referencia

National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), capítulo 1 (Algebraic and Analytic Methods — sección 1.11, raíces de polinomios cuadráticos).
Abramowitz, M. y Stegun, I. A., Handbook of Mathematical Functions (NBS Applied Mathematics Series 55), sección 3.8.1 (Quadratic Equations).

Fuentes matemáticas de referencia revisadas el 5 de noviembre de 2026. La herramienta opera con aritmética decimal acotada entre -10⁶ y 10⁶ y redondeo explícito de presentación.